数列通项公式：五种常见构造套路

如果递推式能整理成 aₙ₊₁ - aₙ = 常数，就是等差数列；能整理成 aₙ₊₁ / aₙ = 常数，就是等比数列。这是最基础也最容易被忽略的一类。

很多同学卡住的原因是想太多，其实只要把已知条件整理成这两种标准形式，通项立刻就能写出来。

形如 aₙ₊₁ = p·aₙ + q 的递推，是等比数列的“平移版”。处理方法是对整体加一个常数，凑成等比。构造的常数由不动点方程 x = px + q 解出。

如果常数变成了指数形式，比如 aₙ₊₁ = p·aₙ + qⁿ，就要两边同除 qⁿ⁺¹，把它转化为新的等差数列。识别的关键是：非齐次项是不是几何级数。

当递推式里出现分式，且分母含有 aₙ，往往可以对两边取倒数，转化为线性递推。这一步看起来粗暴，但非常有效。

当递推式里出现乘积或幂，比如 aₙ₊₁ = aₙ² 或 aₙ₊₁ · aₙ = c，取对数能把乘除变成加减，把幂变成系数，问题瞬间降维。

建议按这个顺序快速扫一遍：能直接整理成等差等比吗？不能就看有没有常数项或指数项。还不行就看有没有分式或乘积。一般三步之内就能定位套路。

这套顺序的价值在于减少犹豫时间。考试的时候，犹豫本身就是最大的成本。