课堂讲解基础巩固约 9 分钟
函数单调性判断：从图像到定义的三步法
很多同学一看到“讨论单调性”就慌，其实只要按固定顺序走三步，大多数题目都能稳稳落地。这节课把判断流程拆开讲透。
01先明确：题目到底在问什么
“讨论单调性”这五个字背后其实有两种完全不同的问法。第一种是问某个具体区间上的增减，第二种是问整个定义域上的单调区间划分。前者通常可以靠代值观察，后者必须落到定义或导数上。
所以拿到题以后，第一件事不是动笔算，而是圈出两个信息：给定的区间，以及题目要求的最终形式（是区间还是证明）。
- 看到“在区间 (a, b) 上” → 优先用定义法或导数法
- 看到“求单调区间” → 必须求导并解不等式
- 看到“判断”“说明” → 允许先用图像给直觉，再补证明
02第二步：挑一条最短的路
能求导的函数优先求导，这是最省力的路。只有导数形式过于复杂、或者题目明确要求“用定义证明”时，才回到定义法。定义法的核心就一句话：设 x₁ < x₂，比较 f(x₁) 与 f(x₂)。
比较的时候不要硬展开，先看能不能提取公因式，再看符号判断。多数中等难度的题，作差之后都能分解成几个恒正或恒负的因式相乘。
03第三步：把结论写成规范答案
很多同学算对了但拿不到满分，问题出在书写。单调区间必须写成闭区间还是开区间，要看题目对端点是否要求严格；而“证明单调递增”则必须注明变形方向。
一个常用收尾句式是：因为当 x₁ < x₂ 时恒有 f(x₁) - f(x₂) < 0，所以 f(x) 在给定区间上单调递减。这样写既简洁又不丢步骤分。
- 先写“设 x₁, x₂ 属于区间，且 x₁ < x₂”
- 写出 f(x₁) - f(x₂) 并因式分解
- 逐项判断符号，最后给出单调性结论
04常见坑与练后复盘
最常见的错误是忽略定义域。比如含对数或分式的函数，单调区间只能在定义域内讨论，直接套导数结果很容易把跳跃点连起来。
课后建议做三到五道同类型题，做完后不要只看对错，而是回看自己第一步是否圈对了区间。这一步决定了后面所有计算的方向。